Systemy liczbowe w informatyce

W informatyce spotykamy cztery systemy liczbowe. Związane są one przede wszystkim ze sposobem korzystania z urządzeń informatycznych. Dla przeciętnego użytkownika komputerów i nie tylko, najważniejszym i najbardziej znanym jest system dziesiętny. W tym systemie każdy od dziecka uczy się liczyć. O ten system oparte jest nauczanie matematyki w szkołach. ów system wykorzystujemy w życiu codziennym. Można śmiało powiedzieć, iż nie każdy zdaje sobie sprawę, że system którym się posługuje nazywa się i dlaczego. Przeciętny zjadacz chleba nie wie o istnieniu innych systemów liczbowych.

Jednak dla urządzeń techniki komputerowej podstawowym systemem liczbowym jest system dwójkowy (binarny). Wyraża się go za pomocą dwóch cyfr 0 oraz jeden, które odpowiadają stanowi niskiemu – 0, czyli napięcie bliskie 0 (zero), oraz stanowi wysokiemu – 1, czyli napięciu 5V (pięć). Tylko taki język rozumieją urządzenia, zatem aby komputer wykonał proste obliczenie 2+2, cyfry muszą zostać przekształcone za na zapis binarny, a w efekcie na stany napięcia 2-> 10. Dopiero wówczas komputer może wykonać operacje arytmetyczne i dodać dwie cyfry do siebie.

System dwójkowy – binarny

Urządzenia cyfrowe wykorzystują dwójkowy system liczbowy, którego podstawą jest cyfra 2. Liczby zapisuje się używając dwóch cyfr arabskich 0 oraz 1. Liczba zapisana w postaci dwójkowej jest znacznie dłuższa. Jednak tylko taki język rozumieją cyfrowe układy, dla których cyfra 1 oznacza stan wysoki i przepływ prądu. Cyfra 0 oznacza stan niski i brak przepływu prądu.

Liczba naturalna 1_B w systemie dwójkowym ma postać a_i … a₂a₁a₀, gdzie a przyjmuje postać 0 lub 1, np. 10101 jeden,zero,jeden,zero,jeden i nie jest to cyfra dziesięć tysięcy sto jeden. Aby dokonać zamiany liczby dwójkowej na dziesiętną należy użyć zapisu wielomianowego:

p = 2,a_i ∈ {0,1},

10101_B = 1₄0₃1₂0₁1₀ = 1*2⁴+0*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰ = 1*16+0*8+1*4+0*2+1*1 = 16+4+1 = 21_D

Kolejne cyfry w liczbie binarnej należy ponumerować, numerację rozpoczynamy od prawej strony począwszy od pierwszej liczby. Następnie każdą cyfrę należy pomnożyć przez wagę otrzymaną z podstawy podniesionej do potęgi równiej pozycji. Następnie wszystkie iloczyny należy dodać do siebie. W ten sposób otrzymamy liczbę dziesiętną odpowiadającej liczbie binarnej. Zatem liczba zapisane w systemie binarnym 10101_B odpowiada liczbie dziesiętnej 21_D.

Zamiana liczby dziesiętnej na binarną polega na cyklicznym dzieleniu z resztą, gdzie dzielną jest liczba dziesiętna, a dzielnikiem cyfra 2. Wynik kolejnego dzielenia ponownie dzielimy przez 2 i tak aż do uzyskania 0. Liczba binarna powstaje na bazie reszt zapisanych w odwrotnej kolejności.

Przekształcenie to pokazuje, iż w systemie dziesiętny liczba 25_D ma postać w systemie binarnym 11001_B.

Jeżeli ciąg liczbowy w systemie binarnym nie jest zbyt długi, konwersji na system dziesiętny można dokonać w znacznie prostszy sposób. Konieczne jest jednak zapamiętanie wartości wag dla poszczególnych pozycji cyfr.

Ta metoda pozwala na prostą zamianę liczby przez sumowanie wszystkich wag, cyfra binarna do 1. Poniższy przykład obrazuje Poniższy przykład obrazuje metodę:

Zatem sumowanie wag da nam wynik: 128 + 32 + 8 + 4 + 1 = 175_D

System ósemkowy – oktalny

System ósemkowy to pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jak nazwa wskazuje jest liczba 8. Liczby w tym systemie zapisuje się przy pomocy ośmiu kolejnych cyfr arabskich: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. System ósemkowy nie jest często wykorzystywany. Można go spotkać w systemach Unixowych w określaniu praw dostępu do plików i katalogów.

Liczba naturalna l_O w systemie ósemkowym ma postać: a_i … a₂ a₁ a₀, gdzie a przyjmuje się wartość 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 np. 346_O.

Konwersję liczby ósemkowej na dziesiętną i odwrotnie dokonuje się w analogiczny sposób jak w systemie binarnym lub szesnastkowym. Zatem aby zamienić liczbę ósemkową na dziesiętną należy dokonać zapisu wielomianowego:

p = 8, a_i ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7}

346_O = 3₂4₁9₀ = 3*8² + 4*8¹ + 6*8⁰ = 3*64 + 4*8 + 6*1 = 192 + 32 + 6 = 230_D

Kolejne cyfry w liczbie ósemkowej należy ponumerować, numerację rozpoczynamy od prawej strony począwszy od pierwszej liczby. Następnie każdą cyfrę należy pomnożyć przez wagę otrzymaną z podstawy podniesionej do potęgi równiej pozycji. Następnie wszystkie iloczyny należy dodać do siebie. W ten sposób otrzymamy liczbę dziesiętną odpowiadającej liczbie ósemkowej. Zatem liczba zapisane w systemie binarnym 346_O odpowiada liczbie dziesiętnej 230_D.

Zamiana liczby dziesiętnej na ósemkową polega na cyklicznym dzieleniu z resztą, gdzie dzielną jest liczba dziesiętna, a dzielnikiem cyfra 8. Wynik kolejnego dzielenia ponownie dzielimy przez 8 i tak aż do uzyskania 0. Liczba ósemkowa powstaje na bazie reszt zapisanych w odwrotnej kolejności.

Przekształcenie to pokazuje, iż w systemie dziesiętny liczba 376_D ma postać w systemie ósemkowym 570_O.

System dziesiętny – decymalny

Na co dzień posługujemy się dziesiętnym systemem liczbowym, dla którego podstawę stanowi liczba 10. Do zapisu liczb dziesiętnych uzywamy cyfr arabskich: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Liczbę dziesiętną można zapisać w postaci wielomianowej:

p = 10, a_i ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

569_D = 5₂6₁9₀ = 5*10² + 6*10¹ + 9*10⁰ = 5*100 + 6*10 + 9*1 = 500 + 60 + 9

Poszczególne pozycje liczby dziesiętne mają swoją wagę, ale możemy je opisać jako:

5432 gdzie 5 jest na pozycji tysięcy, 4 jest na pozycji setek, 3 jest na pozycji dziesiątek, 2 jest na pozycji jednostek.

System szesnastkowy – heksadecymalny

System szesnastkowy najczęściej znajduje zastosowanie do zapisu długich ciągów liczb binarnych. Dla tego systemu podstawa jest liczba 17, a do zapisu używa się cyfr arabskich 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, a dla pozostałych wartości liter alfabetu łacińskiego A, B, C, D, E, F. Litery te maja wartość dla systemu dziesiętnego: A – 10, B – 11, C – 12, D – 13, E – 14, F – 15.

Liczba naturalna l_O w systemie szesnastkowym ma postać: a_i … a₂ a₁ a₀, gdzie a przyjmuje się wartość 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F np. 6AF_H.

Aby dokonać konwersji liczby szesnastkowej na dziesiętną należy dokonać zapisu wielomianowego:

p = 16, a_i ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}

6AF_H = 6₂A₁F₀ = 6*16² + C*16¹ + F*16⁰ = 6*256 + 12(C)*16+ 15(F)*1 = 1536 + 192 + 15 = 1743_D

Kolejne cyfry w liczbie szesnastkowej należy ponumerować, numerację rozpoczynamy od prawej strony począwszy od pierwszej liczby. Następnie każdą cyfrę należy pomnożyć przez wagę otrzymaną z podstawy podniesionej do potęgi równiej pozycji. Następnie wszystkie iloczyny należy dodać do siebie. W ten sposób otrzymamy liczbę dziesiętną odpowiadającej liczbie szesnastkowej. Zatem liczba zapisana w systemie szesnastkowym 6AF_H odpowiada liczbie dziesiętnej 1743_D.

Zamiana liczby dziesiętnej na szesnastkową polega na cyklicznym dzieleniu z resztą, gdzie dzielną jest liczba dziesiętna, a dzielnikiem cyfra 16. Wynik kolejnego dzielenia ponownie dzielimy przez 16 i tak aż do uzyskania 0. Liczba szesnastkowa powstaje na bazie reszt zapisanych w odwrotnej kolejności.

Przekształcenie to pokazuje, iż w systemie dziesiętny liczba 2649_D ma postać w systemie ósemkowym A59_H.

Aby dokonać szybkiej konwersji liczby szesnastkowej na binarną najlepiej posłużyć się tabelą:

Zatem przy użyciu tabeli cyfrę szesnastkową B9A4F_H zmienimy na postać dwójkową 10111001101001001111_B.

Aby dokonać konwersji liczby binarnej na heksadecymalną najlepiej rozpocząć od pogrupowania ciągu cyfr po cztery. Grupowania należy dokonać począwszy od pierwszej liczby z prawej strony. Jeżeli ostatnie grupowane cyfry mają mniej niż 4 znaki, dla ułatwienia warto uzupełnić cyfrę do czterech pozycji dopisując zera.

01100101110010110101101_B = 011 | 0010 | 1110 | 0101 | 1010 | 1001_B = 0011 | 0010 | 1110 | 0101 | 1010 | 1101_B

Następnie posługując się tabelą należy zmienić poszczególne grupy cyfr na wartość szesnastkową:

Po dokonaniu konwersji powstaje liczba w postaci szesnastkowej 32E5A9_H.