Urządzenia Techniki Komputerowej

Strona dla uczniów i nauczycieli

Systemy liczbowe w informatyce

W informatyce spotykamy cztery systemy liczbowe. Związane są one przede wszystkim ze sposobem korzystania z urządzeń informatycznych. Dla przeciętnego użytkownika komputerów i nie tylko, najważniejszym i najbardziej znanym jest system dziesiętny. W tym systemie każdy od dziecka uczy się liczyć. O ten system oparte jest nauczanie matematyki w szkołach. ów system wykorzystujemy w życiu codziennym. Można śmiało powiedzieć, iż nie każdy zdaje sobie sprawę, że system którym się posługuje nazywa się i dlaczego. Przeciętny zjadacz chleba nie wie o istnieniu innych systemów liczbowych.

Jednak dla urządzeń techniki komputerowej podstawowym systemem liczbowym jest system dwójkowy (binarny). Wyraża się go za pomocą dwóch cyfr 0 oraz jeden, które odpowiadają stanowi niskiemu – 0, czyli napięcie bliskie 0 (zero), oraz stanowi wysokiemu – 1, czyli napięciu 5V (pięć). Tylko taki język rozumieją urządzenia, zatem aby komputer wykonał proste obliczenie 2+2, cyfry muszą zostać przekształcone za na zapis binarny, a w efekcie na stany napięcia 2-> 10. Dopiero wówczas komputer może wykonać operacje arytmetyczne i dodać dwie cyfry do siebie.

System dwójkowy – binarny

Urządzenia cyfrowe wykorzystują dwójkowy system liczbowy, którego podstawą jest cyfra 2. Liczby zapisuje się używając dwóch cyfr arabskich 0 oraz 1. Liczba zapisana w postaci dwójkowej jest znacznie dłuższa. Jednak tylko taki język rozumieją cyfrowe układy, dla których cyfra 1 oznacza stan wysoki i przepływ prądu. Cyfra 0 oznacza stan niski i brak przepływu prądu.

Liczba naturalna 1B w systemie dwójkowym ma postać aia2a1a0, gdzie a przyjmuje postać 0 lub 1, np. 10101 jeden,zero,jeden,zero,jeden i nie jest to cyfra dziesięć tysięcy sto jeden. Aby dokonać zamiany liczby dwójkowej na dziesiętną należy użyć zapisu wielomianowego:

p = 2,ai ∈ {0,1},

10101B = 1403120110 = 1*24+0*23+1*22+0*21+1*20 = 1*16+0*8+1*4+0*2+1*1 = 16+4+1 = 21D

Kolejne cyfry w liczbie binarnej należy ponumerować, numerację rozpoczynamy od prawej strony począwszy od pierwszej liczby. Następnie każdą cyfrę należy pomnożyć przez wagę otrzymaną z podstawy podniesionej do potęgi równiej pozycji. Następnie wszystkie iloczyny należy dodać do siebie. W ten sposób otrzymamy liczbę dziesiętną odpowiadającej liczbie binarnej. Zatem liczba zapisane w systemie binarnym 10101B odpowiada liczbie dziesiętnej 21D.

Zamiana liczby dziesiętnej na binarną polega na cyklicznym dzieleniu z resztą, gdzie dzielną jest liczba dziesiętna, a dzielnikiem cyfra 2. Wynik kolejnego dzielenia ponownie dzielimy przez 2 i tak aż do uzyskania 0. Liczba binarna powstaje na bazie reszt zapisanych w odwrotnej kolejności.

25 : 2 = 12 r = 1 ↑
12 : 2 = 6 r = 0 ↑
6 : 2 = 3 r = 0 ↑
3 : 2 = 1 r = 1 ↑
1 : 2 = 0 r = 1 ↑
25D = 11001B

Przekształcenie to pokazuje, iż w systemie dziesiętny liczba 25D ma postać w systemie binarnym 11001B.

Jeżeli ciąg liczbowy w systemie binarnym nie jest zbyt długi, konwersji na system dziesiętny można dokonać w znacznie prostszy sposób. Konieczne jest jednak zapamiętanie wartości wag dla poszczególnych pozycji cyfr.

Pozycja 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20
Waga 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

Ta metoda pozwala na prostą zamianę liczby przez sumowanie wszystkich wag, cyfra binarna do 1. Poniższy przykład obrazuje Poniższy przykład obrazuje metodę:

128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 1 0 1 1 0 1
128 32 8 4 1

Zatem sumowanie wag da nam wynik: 128 + 32 + 8 + 4 + 1 = 175D

System ósemkowy – oktalny

System ósemkowy to pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jak nazwa wskazuje jest liczba 8. Liczby w tym systemie zapisuje się przy pomocy ośmiu kolejnych cyfr arabskich: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. System ósemkowy nie jest często wykorzystywany. Można go spotkać w systemach Unixowych w określaniu praw dostępu do plików i katalogów.

Liczba naturalna lO w systemie ósemkowym ma postać: aia2 a1 a0, gdzie a przyjmuje się wartość 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 np. 346O.

Konwersję liczby ósemkowej na dziesiętną i odwrotnie dokonuje się w analogiczny sposób jak w systemie binarnym lub szesnastkowym. Zatem aby zamienić liczbę ósemkową na dziesiętną należy dokonać zapisu wielomianowego:

p = 8, ai ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7}

346O = 324190 = 3*82 + 4*81 + 6*80 = 3*64 + 4*8 + 6*1 = 192 + 32 + 6 = 230D

Kolejne cyfry w liczbie ósemkowej należy ponumerować, numerację rozpoczynamy od prawej strony począwszy od pierwszej liczby. Następnie każdą cyfrę należy pomnożyć przez wagę otrzymaną z podstawy podniesionej do potęgi równiej pozycji. Następnie wszystkie iloczyny należy dodać do siebie. W ten sposób otrzymamy liczbę dziesiętną odpowiadającej liczbie ósemkowej. Zatem liczba zapisane w systemie binarnym 346O odpowiada liczbie dziesiętnej 230D.

Zamiana liczby dziesiętnej na ósemkową polega na cyklicznym dzieleniu z resztą, gdzie dzielną jest liczba dziesiętna, a dzielnikiem cyfra 8. Wynik kolejnego dzielenia ponownie dzielimy przez 8 i tak aż do uzyskania 0. Liczba ósemkowa powstaje na bazie reszt zapisanych w odwrotnej kolejności.

376 : 8 = 47 r = 0 ↑
47 : 8 = 5 r = 7 ↑
5 : 8 = 0 r = 5 ↑
376D = 570O

Przekształcenie to pokazuje, iż w systemie dziesiętny liczba 376D ma postać w systemie ósemkowym 570O.

System dziesiętny – decymalny

Na co dzień posługujemy się dziesiętnym systemem liczbowym, dla którego podstawę stanowi liczba 10. Do zapisu liczb dziesiętnych uzywamy cyfr arabskich: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Liczbę dziesiętną można zapisać w postaci wielomianowej:

p = 10, ai ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

569D = 526190 = 5*102 + 6*101 + 9*100 = 5*100 + 6*10 + 9*1 = 500 + 60 + 9

Poszczególne pozycje liczby dziesiętne mają swoją wagę, ale możemy je opisać jako:

5432 gdzie 5 jest na pozycji tysięcy, 4 jest na pozycji setek, 3 jest na pozycji dziesiątek, 2 jest na pozycji jednostek.

System szesnastkowy – heksadecymalny

System szesnastkowy najczęściej znajduje zastosowanie do zapisu długich ciągów liczb binarnych. Dla tego systemu podstawa jest liczba 17, a do zapisu używa się cyfr arabskich 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, a dla pozostałych wartości liter alfabetu łacińskiego A, B, C, D, E, F. Litery te maja wartość dla systemu dziesiętnego: A – 10, B – 11, C – 12, D – 13, E – 14, F – 15.

Liczba naturalna lO w systemie szesnastkowym ma postać: aia2 a1 a0, gdzie a przyjmuje się wartość 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F np. 6AFH.

Aby dokonać konwersji liczby szesnastkowej na dziesiętną należy dokonać zapisu wielomianowego:

p = 16, ai ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}

6AFH = 62A1F0 = 6*162 + C*161 + F*160 = 6*256 + 12(C)*16+ 15(F)*1 = 1536 + 192 + 15 = 1743D

Kolejne cyfry w liczbie szesnastkowej należy ponumerować, numerację rozpoczynamy od prawej strony począwszy od pierwszej liczby. Następnie każdą cyfrę należy pomnożyć przez wagę otrzymaną z podstawy podniesionej do potęgi równiej pozycji. Następnie wszystkie iloczyny należy dodać do siebie. W ten sposób otrzymamy liczbę dziesiętną odpowiadającej liczbie szesnastkowej. Zatem liczba zapisana w systemie szesnastkowym 6AFH odpowiada liczbie dziesiętnej 1743D.

Zamiana liczby dziesiętnej na szesnastkową polega na cyklicznym dzieleniu z resztą, gdzie dzielną jest liczba dziesiętna, a dzielnikiem cyfra 16. Wynik kolejnego dzielenia ponownie dzielimy przez 16 i tak aż do uzyskania 0. Liczba szesnastkowa powstaje na bazie reszt zapisanych w odwrotnej kolejności.

2649 : 16 = 165 r = 9 ↑
165 : 16 = 10 r = 5 ↑
10 : 16 = 0 r = A ↑
2649D = A59H

Przekształcenie to pokazuje, iż w systemie dziesiętny liczba 2649D ma postać w systemie ósemkowym A59H.

Aby dokonać szybkiej konwersji liczby szesnastkowej na binarną najlepiej posłużyć się tabelą:

Cyfra szesnastkowa Cyfra dwójkowa Cyfra szesnastkowa Cyfra binarna
0 0000 1 0001
2 0010 3 0011
4 0100 5 0101
6 0110 7 0111
8 1000 9 1001
A 1010 B 1011
C 1100 D 1101
E 1110 F 1111

Zatem przy użyciu tabeli cyfrę szesnastkową B9A4FH zmienimy na postać dwójkową 10111001101001001111B.

B 9 A 4 F
1011 1001 1010 0100 1111

Aby dokonać konwersji liczby binarnej na heksadecymalną najlepiej rozpocząć od pogrupowania ciągu cyfr po cztery. Grupowania należy dokonać począwszy od pierwszej liczby z prawej strony. Jeżeli ostatnie grupowane cyfry mają mniej niż 4 znaki, dla ułatwienia warto uzupełnić cyfrę do czterech pozycji dopisując zera.

01100101110010110101101B = 011 | 0010 | 1110 | 0101 | 1010 | 1001B = 0011 | 0010 | 1110 | 0101 | 1010 | 1101B

Następnie posługując się tabelą należy zmienić poszczególne grupy cyfr na wartość szesnastkową:

0011 0010 1110 0101 1000 1001
3 2 E 5 A 9

Po dokonaniu konwersji powstaje liczba w postaci szesnastkowej 32E5A9H.

Previous

Systemy liczbowe – rodzaje

Next

Działania na liczbach binarnych

1 Comment

  1. Ganci

    Świetnie wytłumaczone, dziękuję bardzo

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

Powered by WordPress & Theme by Anders Norén

Ta strona używa plików Cookies. Dowiedz się więcej o celu ich używania i możliwości zmiany ustawień Cookies w przeglądarce. Więcej informacji

Co to są pliki cookies?
Pliki cookies (tzw. „ciasteczka”) stanowią dane informatyczne, w szczególności pliki tekstowe, które przechowywane są w urządzeniu końcowym Użytkownika Serwisu i przeznaczone są do korzystania ze stron internetowych naszego Serwisu. Cookies zazwyczaj zawierają nazwę strony internetowej, z której pochodzą, czas przechowywania ich na urządzeniu końcowym oraz unikalny numer.
Jakiego rodzaju pliki cookies są wykorzystywane przez Serwis?
Serwis nie zbiera w sposób automatyczny żadnych informacji, z wyjątkiem informacji zawartych w plikach cookies. Podmiotem zamieszczającym na urządzeniu końcowym Użytkownika Serwisu pliki cookies oraz uzyskującym do nich dostęp jest Serwisoft Krzysztof Pietras z siedzibą w Zielonej Górze ul. M. Konopnickiej 11/1.
Stosowane są dwa rodzaje plików „cookies” – „sesyjne” oraz „stałe”. Pierwsze z nich są plikami tymczasowymi, które pozostają na urządzeniu użytkownika, aż do wylogowania ze strony internetowej lub wyłączenia oprogramowania (przeglądarki internetowej). „Stałe” pliki pozostają na urządzeniu użytkownika przez czas określony w parametrach plików „cookies” albo do momentu ich ręcznego usunięcia przez użytkownika.
W jakim celu wykorzystywane są pliki cookies?
Pliki „cookies” są wykorzystywane w celu tworzenia anonimowych statystyk, które pomagają analizować z których treści użytkownik korzysta na stronie internetowej co umożliwia ulepszanie jej struktury i zawartości, z wyłączeniem personalnej identyfikacji użytkownika.
Ustawienia plików cookies.
Standardowo oprogramowanie służące do przeglądania stron internetowych domyślnie dopuszcza umieszczanie plików „cookies” na urządzeniu końcowym Użytkownika. Ustawienia te mogą zostać zmienione przez Użytkownika w taki sposób, aby blokować automatyczną obsługę plików „cookies” w ustawieniach przeglądarki internetowej bądź informować o ich każdorazowym przesłaniu na urządzenie użytkownika. Szczegółowe informacje o możliwości i sposobach obsługi plików „cookies” dostępne są w ustawieniach oprogramowania (przeglądarki internetowej). W przypadku, gdy Użytkownik nie dokonana zmiany domyślnych ustawień przeglądarki internetowej w zakresie ustawień cookies, pliki te będą zamieszczone w urządzeniu końcowym Użytkownika. Wyłączenie lub zmiana domyślnych ustawień plików cookies może spowodować utrudnienia w korzystaniu z niektórych naszych stron i serwisów internetowych, w tym z Serwisu.

Zamknij