Podobnie jak na liczbach dziesiętnych tak na binarnych można wykonywać podstawowe operacje arytmetyczne. Należą do nich: dodawanie, odejmowanie, mnożenie oraz dzielenie. Wykonuje się je w podobny sposób jak w przypadku liczb dziesiętnych, ale wykorzystuje zapis dwójkowy.

Dodawanie liczb binarnych

Operacja ta opiera się na prostej zasadzie tabliczki dodawania, która reprezentuje cztery sumy cząstkowe:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0 i 1 dalej

Pierwsze trzy sumy są oczywiste, czwarta zaś daje wynik 0 dla bieżącej kolumny oraz przeniesienie 1 (jedynki) do następnej kolumny po lewej stronie i jest ona dodawana do liczb w tej kolumnie. Poniższy przykład obrazuje sposób dodawania:

+1 1 0 +10 +10 1 +10 1 69
1 1 0 1 1 0 1 +109
1 0 1 1 0 0 1 0 =178

Można zauważyć, iż długość sumowanych cyfr wynosi 7 pozycji, zaś wynik jest ośmiopozycyjny. Sytuację taką określamy jako przepełnienie.

Poniżej kilka innych przykładów dodawania liczb binarnych.

+10 1 1 0 +10 1 1 51
0 1 0 1 0 1 0 +42
1 0 1 1 1 0 1 =93
+11 +10 +11 +10 +11 +10 +11 85
1 1 1 1 1 1 1 +127
1 1 0 1 0 1 0 0 =212
1 0 0 1 0 0 1 73
0 1 1 0 1 1 0 +54
1 1 1 1 1 1 1 =127

Odejmowanie liczb binarnych

Operacja ta opiera się na prostej zasadzie tabliczki odejmowania, która reprezentuje cztery różnice cząstkowe:

0 – 0 = 0
1 – 0 = 1
1 – 1 = 0
0 – 1 = 1 i pożyczka

Pierwsze trzy różnice są oczywiste, czwarta zaś daje wynik 1 dla bieżącej kolumny i wymusza pożyczkę 1 (jedynki) do następnej kolumny po lewej stronie i jest ona dodawana do liczb w tej kolumnie. Poniższy przykład obrazuje sposób dodawania:

1 1 0 -11 0 -11 0 106
1 0 0 0 1 0 1 -69
0 1 0 0 1 0 1 =37

Podczas odejmowania liczb binarnych może wystąpić zjawisko niedomiaru, gdy pożyczka pojawia się poza dostępnym zakresem cyfr. Sytuacja taka występuje gdy odjemnik jest większy od liczby odjemnej.

Poniżej kilka innych przykładów dodawania liczb binarnych.

0 1 -11 0 0 1 1 51
0 1 0 1 0 1 0 -42
0 0 0 1 0 0 1 =9
1 1 1 1 1 1 1 127
1 0 1 0 1 0 1 -85
0 1 0 1 0 1 0 =42
-11 -10 0 -11 -10 0 1 73
0 1 1 0 1 1 0 +54
0 0 1 0 0 1 1 =19

Mnożenie liczb binarnych

Operacja ta opiera się na prostej zasadzie tabliczki mnożenia, która reprezentuje cztery iloczyny cząstkowe:

0 * 0 = 0
0 * 1 = 0
1 * 0 = 0
1 * 1 = 1

Podobnie jak w przypadku mnożenia długich ciągów liczb dziesiętnych, mnożenie liczb binarnych polega na pomnożeniu każdej liczby mnożnej przez każda liczbę mnożnika. Powstałe cyfry następnie należy dodać do siebie. Poniższy przykład pokazuje jak tego dokonać:

1 1 0 1 13
* 1 0 1 1 *11
———– ———– ———– ———– ———– ———– ———– ———– =143
1 1 0 1
+11 1 0 1
+10 0 0 0
+ +11 1 0 1
———– ———– ———– ———– ———– ———– ———– ———–
1 0 0 0 1 1 1 1

W powyższym przykładzie można zauważyć, że mnożenie cyfr binarnych polega na przepisywaniu mnożnej dla każdej wartości 1 mnożnika, oraz zapisaniu ciągu zer dla każdej wartości 0 mnożnika. Zatem powyższy zapis można skrócić o jeden wiersz, w którym występują same zera. Należy jednak pamiętać, że musi być zachowane położenie początku ciągu względem pozycji liczby mnożnika, dla którego jest wykonywane mnożenie.

1 1 0 1 13
* 1 0 1 1 *11
———– ———– ———– ———– ———– ———– ———– ———– =143
1 1 0 1
+11 1 0 1
+10 0 0 0 wiersz do pominięcia
+ +11 1 0 1
———– ———– ———– ———– ———– ———– ———– ———–
1 0 0 0 1 1 1 1

skrócony zapis:

1 1 0 1 13
* 1 0 1 1 *11
———– ———– ———– ———– ———– ———– ———– ———– =143
1 1 0 1
+11 1 0 1
+ +11 +11 0 1
———– ———– ———– ———– ———– ———– ———– ———–
1 0 0 0 1 1 1 1

Dzielenie liczb binarnych

Dzielenie liczb binarnych można zrealizować metodą cyklicznego odejmowania odpowiednio przesuwanego dzielnika od dzielnej. Poniższy przykład pokazuje jak wykonać takie dzielenie:

1 0 0 0 1 =16
———– ———– ———– ———– ———– ———– ———– ———– 85:5
1 0 1 0 1 0 1 : 101
– 1 0 1
———– ———– ———– ———–
0 0 0 0
0 1
0 1 0
0 1 0 1
– 1 0 1
———– ———– ———– ———–
bez reszty 0 0 0 0
  • Dzielenie zaczynamy od podstawienia dzielnika pod dzielną, począwszy od jej najstarszej cyfry (lewa strona). Następnie sprawdzamy, czy dzielnik można odjąć od fragmentu dzielnej. Jeżeli jest to możliwe to w wyniku wprowadza się jedynkę w kolumnie nad najmłodszą cyfrą dzielnika (prawa strona)
  • Następnie odejmujemy cyfry i brakujące znaki w powstałej różnicy przepisujemy z pierwotnej dzielnej.
  • Jeżeli dzielnika nie d a się odjąć od fragmentu dzielnej, w wyniku wprowadza się zero, a dzielną przepisuje bez zmian. Cały proces powtarza się aś do momentu uzyskania ostatniej cyfry w wyniku
  • Jeżeli ostatnie odejmowanie nie może być wykonane lub z ostatniej różnicy nie wychodzą zera, przepisana dzielna lub liczba powstała z różnicy stanowi resztę z dzielenia.

Inny przykład dzielenia:

1 0 1 0 1 =21
———– ———– ———– ———– ———– ———– ———– ———– 126:6
1 1 1 1 1 1 0 : 110
– 1 1 0
———– ———– ———– ———–
0 0 1 1
1 1 1
– 1 1 0
———– ———– ———–
0 0 1 1
1 1 0
– 1 1 0
———– ———– ———–
0 0 0